Hướng dẫn giải bài §2. Dãy số, Chương III. Dãy số. Cung cấp số cùng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích có trong SGK để giúp các em học viên học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 92 sgk toán 11

Lý thuyết

1. Dãy số

Dãy số là tập hợp những giá trị của hàm số (u:mathbbN* o mathbbR, m n o u(n))

Được sắp xếp theo trang bị tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên (n):

(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…)

( ullet m )Ta kí hiệu (u(n)) vày (u_n) và gọi là số hạng sản phẩm công nghệ n xuất xắc số hạng tổng quát của hàng số, (u_1) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

( ullet ) Ta rất có thể viết dãy số bên dưới dạng triển khai (u_1,u_2,…,u_n,…) hoặc dạng rút gọn ((u_n)).

2. Bí quyết cho dãy số

Người ta thường mang lại dãy số theo các cách:

( ullet ) cho số hạng tổng quát, tức là: đến hàm số u khẳng định dãy số đó

( ullet ) Cho bằng công thức truy hỏi hồi, tức là:

Cho một vài số hạng đầu của dãy

Cho hệ thức biểu lộ số hạng tổng thể qua số hạng (hoặc một vài ba số hạng) đứng trước nó.

3. Hàng số tăng, dãy số giảm

( ullet ) hàng số ((u_n)) call là hàng tăng giả dụ (u_n u_n + 1 m forall n in mathbbN*)

4. Dãy số bị chặn

( ullet ) hàng số ((u_n)) call là hàng bị ngăn trên giả dụ có một số trong những thực (M) làm sao để cho (u_n m m forall n in mathbbN*).

( ullet ) hàng số vừa bị chặn trên vừa bị ngăn dưới gọi là dãy bị chặn, có nghĩa là tồn tại số thực dương (M) làm thế nào để cho (left| u_n ight| Dưới đây là phần hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài bác tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 85 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (displaystyle f(n) =1 over 2n – 1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& f(1) = 1 over 2.1 – 1 = 1 over 2 – 1 = 1 over 1 = 1 cr& f(2) = 1 over 2.2 – 1 = 1 over 4 – 1 = 1 over 3 cr& f(3) = 1 over 2.3 – 1 = 1 over 6 – 1 = 1 over 5 cr& f(4) = 1 over 4.2 – 1 = 1 over 8 – 1 = 1 over 7 cr& f(5) = 1 over 5.2 – 1 = 1 over 10 – 1 = 1 over 9 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy nêu các cách thức cho một hàm số với ví dụ minh họa.

Trả lời:

– Hàm số cho bằng bảng:

Ví dụ:

x01234
y13579

– Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:

(displaystyle y = 5x + 1 over x)

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 86 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu với số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) dãy nghịch đảo của những số thoải mái và tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số thoải mái và tự nhiên chia mang lại $3$ dư $1$.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu:

(displaystyle 1 over 1;,1 over 3;,1 over 5;,1 over 7;,1 over 9)

số hạng bao quát của dãy số: (displaystyle1 over 2n + 1) (n∈N)

b) Năm số hạng đầu: $1; 4; 7; 10; 13$

số hạng bao quát của dãy số: $3n + 1(n ∈ N)$

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 87 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Trả lời:

Mười số hạng đầu của hàng Phi-bô-na-xi:

$1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 89 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho những dãy số (un) cùng (vn) cùng với un = 1 + (1 over n); đất nước hình chữ s = 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) chứng tỏ un+1 n và vn+1 > vn, với mọi n ∈ N*.

Trả lời:

a) un = 1 + (1 over n+1); vn+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4

b) Ta có:

(u_n + 1 – u_n = (1 + 1 over n + 1) – (1 + 1 over n) = 1 over n + 1 – 1 over n = – 1 over n(n + 1))

⇒ un+1 n , ∀n ∈ N*

(v_n + 1 – v_n = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0)

⇒ vn+1 > toàn quốc ,∀n ∈ N*

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 90 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh những bất đẳng thức (displaystylen over n^2 + 1 le 1 over 2;,,,n^2 + 1 over 2n ge 1) với tất cả n∈N*

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& n^2 over n^2 + 1 – 1 over 2 = 2n – (n^2 + 1) over 2(n^2 + 1) = – (n – 1)^2 over 2(n^2 + 1) le 0;,,forall n in N^* cr& Rightarrow n over n^2 + 1 & n^2 + 1 over 2n – 1 = n^2 + 1 – 2n over 2n = (n – 1)^2 over 2n ge 0;,,forall n in N* cr& Rightarrow n^2 + 1 over 2n ge 1;,,forall n in N^* cr )

Dưới đó là phần hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

hsnovini.com trình làng với chúng ta đầy đủ cách thức giải bài bác tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài §2. Dãy số vào Chương III. Dãy số. Cấp số cùng và cấp cho số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu của các dãy số gồm số hạng bao quát un cho vày công thức:

a) un = ( fracn2^n-1);

b) un = ( frac2^n-12^n+1) ;

c) un = ( (1+frac1n)^n);

d) un = ( fracnsqrtn^2+1).

Bài giải:

Với $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$ ta kiếm được $5$ số hạng đầu của những dãy số

a) un = ( fracn2^n-1);

u1 = 1; u2 = ( frac23), ( u_3=frac37; u_4=frac415;u_5=frac531)

b) un = ( frac2^n-12^n+1)

( u_1=frac13,u_2=frac35;u_3=frac79;u_4=frac1517;u_5=frac3133)

c) un = ( (1+frac1n)^n);

u1 = 2; ( u_2=frac94;u_3=frac6427;u_4=frac625256;u_5=frac77763125)

d) un = ( fracnsqrtn^2+1)

( u_1=frac1sqrt2;u_2=frac2sqrt5;u_3=frac3sqrt10;u_4=frac4sqrt17;u_5=frac5sqrt26)

2. Giải bài 2 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 cùng với $n ≥ 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) chứng tỏ bằng phương thức quy nạp: un = 3n -4.

Bài giải:

a) tự u1 = -1 ta tìm kiếm được u2 = 2, lần lượt vậy nên ta kiếm được u3, u4, u5 có mức giá trị là $5, 8, 11$.

b) Ta thấy, cùng với n =1 thì u1 =$ 3.1 – 4 = -1.$

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1 ⇒ uk $= 3k -4.$

Xét cùng với $n = k +1$ ta có:

uk+1 = uk + 3 = $3k – 4 + 3$ = $3(k + 1) – 4 = 3n – 4$ (đpcm)

Vậy hệ thức đúng với đa số n ε N*

3. Giải bài bác 3 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Dãy số un mang lại bởi: u1 = 3; un+1 = ( sqrt1+u^2_n), $n ≥ 1.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng tỏ côngt hức kia bằng phương thức quy nạp.

Bài giải:

a) trường đoản cú u1 = 3 ta tìm kiếm được u2 = $sqrt10$, lần lượt vì thế ta tìm kiếm được u3, u4, u5 có mức giá trị là $sqrt11$ , $sqrt12$ , $sqrt13$.

b) trường đoản cú các hiệu quả của câu a ta dự đoạn phương pháp của hàng số như sau:

$u_n = sqrtn + 8$ (*)

Chứng minh:

Ta thấy, với $n = 1$ thì cách làm (*) đúng.

Giả sử đúng với $n = k ≥ 1$, thì $u_k = sqrtk + 8$

Xét với $n = k + 1$, ta có:

uk+1 = ( sqrt1+u^2_k=sqrt1+(sqrtk+8)^2=sqrt(k+1)+8) $= sqrtn + 8$ (đpcm)

Như vậy công thức (1) đúng cùng với $n = k + 1$.

4. Giải bài 4 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:

a) $u_n = frac1n – 2;$

b) $u_n = fracn-1n+1;$

c) $u_n=(-1)^n(2^n + 1);$

d) $u_n = frac2n+15n+2.$

Bài giải:

a) Ta gồm un+1 = ( frac1n+1 – 2)

Xét hiệu:

un+1 – un = ( frac1n+1 – 2 – ( frac1n) – 2))

(= frac1n+1) – ( frac1n).

Ta thấy ( frac1n+1) n+1 – un = ( frac1n+1) – ( frac1n) * .

⇒ hàng số đã cho rằng dãy số giảm.

b) Ta gồm un+1 = $fracn+1-1n+1+1$

⇒ un+1 – un = ( fracn+1-1n+1+1-fracn-1n+1=fracnn+2-fracn-1n+1)

= ( fracn^2+n- n^2-n+2(n+1)(n+2)=frac2(n+1)(n+2)>0)

⇒ hàng số đã cho là dãy số tăng.

c) các số hạng lúc đầu vì có thừa số (-1)n, buộc phải dãy số dãy số không tăng với cũng không giảm.

d) Ta bao gồm $u_n+1 = frac2n+35n+7$

Ta bao gồm ( fracu_n+1u_n) ( =frac2n+35n+7.frac5+22n+1=frac10n^2+19n+610n^2+19n+7*

⇒ hàng số đã cho rằng dãy số sút dần.

5. Giải bài xích 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số làm sao bị chặn trên, hàng số làm sao bị chặn?

a) un = 2n2 -1;

b) un = ( frac1n(n+2))

c) un = ( frac12n^2-1);

d) un = sinn + cosn

Bài giải:

a) un = 2n2 -1;

Ta có un = 2n2 -1 ≥ 1 với tất cả n ε N*

⇒ dãy số bị ngăn dưới với không tồn tại một số trong những M nhằm un = 2n2 -1 ≤ M, cần dãy số không bị chặn trên.

b) un = ( frac1n(n+2))

Ta thấy: un > 0 với tất cả n ε N*

Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 ⇒ ( frac1n(n+2)) ( leq frac13).

⇒ 0 n ( leq frac13) với mọi n ε N* ⇒ hàng số bị chặn.

c) un = ( frac12n^2-1);

Ta có: 2n2 – 1 > 0 ⇒ ( frac12n^2-1) > 0

mà 2n2 – 1≥ 1 ⇒ ( u_n=frac12n^2-1) ≤ 1.

⇒ 0 n ≤ 1, với tất cả n ε N*  ⇒ dãy số bị chặn.

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Sin Cos, Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Cực Hay

d) un = sinn + cosn

Ta có: $u_n = sqrt2(fracsqrt22sinn + fracsqrt22cosn) = sqrt2sin(n + fracpi 4)$, với đa số n.

⇒ $-sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ sqrt2$ với mọi n ε N*

Vậy $-sqrt2 *

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11!