Hướng dẫn giải, đáp án bài bác 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp) – Chương 1: Hàm số lượng giác với phương trình lượng giác.
Bạn đang xem: Bài tập toán 11 trang 36
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.
Nghiệm của phương trình đã đến là những nghiệm của nhì phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), cho nên phương trình vẫn cho tương đương với
2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔
⇔
Bài 3. Giải những phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔
Phương trình sẽ cho tương đương với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.
Các nghiệm của phương trình đã cho rằng nghiệm của hai phương trình sau :
và
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình vươn lên là 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.
Vậy
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
Quảng cáo
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.
Vậy
Bài 4: Giải những phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Giải: a) thường thấy cosx = 0 không vừa lòng phương trình đã cho nên vì thế chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương tự 2tan2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.
Vậy
b) cố 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã cho trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) chũm sin2x = 2sinxcosx ;
Quảng cáo
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã mang đến và rút gọn ta được phương trình tương đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0
⇔
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2
⇔
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta gồm sinx + cosx = √2cos(x – π/4) cần phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2
⇔
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1
⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).
Bài 6. a. Tung (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. Tung x + tan (x + π/4) = 1
Ôn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với cùng 1 hàm con số giác
Chỉ yêu cầu thực hiên nhị phép thay đổi tương đương: dịch số hạng không chứa x quý phái vế yêu cầu và đổi dấu; phân chia hai vế phương trình cho một số khác 0 là ta rất có thể đưa phương trình lượng giác cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm con số giác chứa ẩn phụ ta chuyển được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Giả dụ phương trình bậc hai có nghiệm thì cầm cố giá trị của nghiệm kiếm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ đề nghị xét trường thích hợp cả hai thông số a, b hầu hết khác 0 (trường hợp 1 trong những hai hệ số đó bởi 0 thì phương trình nên giải là hpuwong trình hàng đầu đối với 1 hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã biết phương pháp giải.
Cách 1: phân tách hai vế phương trình cho
Phương trình này đã hiểu cách thức giải.
Chú ý : Để phương trình
Đó cũng là điều kiện cần với đủ để phương trình asinx + bcosx = c bao gồm nghiệm.
Xem thêm: Chọn Hình Xăm Rồng Hợp Với Tuổi Nào Cho Hợp Tuổi? Tuổi Thìn Nên Xăm Hình Gì
Phương pháp giải những phương trình gửi được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác
Hệ thống các công thức lượng giác rất nhiều chủng loại nên những phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. áp dụng thành thạo những phép biến đổi lượng giác những em có thể đưa những phương trình đề nghị giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với cosx cùng sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể mang về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Cũng chính vì sự phong phú và đa dạng chủng loại ấy nên chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa cách thức giải thông qua một số ví dụ nổi bật và các em hoàn toàn có thể nắm vững phương thức giải trải qua nhiều bài tập.