Bảng gồm những công thức nguyên hàm cơ bản, nguyên hàm nâng cao, nguyên hàm mở rộng dành cho học sinh lớp 12 vận dụng làm các bài tập về nguyên hàm.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập nguyên hàm nâng cao

Nhắc lại tư tưởng về nguyên hàm như sau:

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được call là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K với F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Ví dụ: Hàm số f(x) = cos X tất cả nguyên hàm là F (X) = sin X vi (sin X)’ = cos X (tức F ‘(X) = f (X)).

Dưới đấy là bảng nguyên hàm bao gồm: Nguyên hàm vô tỷ, nguyên hàm hữu tỉ, nguyên hàm e, nguyên hàm logarit, nguyên hàm lượng giác


Tóm tắt


Bảng những nguyên hàm cơ bản thường gặp

1. $displaystyle int d x=x+C$

2. $displaystyle int k d x=k x+C$

3. $displaystyle int x^n d x=fracx^n+1n+1+C(n eq-1)$

4. $displaystyle int frac1x d x=ln |x|+C(x eq 0)$

5. $displaystyle int frac1x^2 d x=-frac1x+C$

6. $displaystyle int frac1x^n d x=-frac1(n-1) x^n-1+C$

7. $displaystyle int e^x d x=e^x+C$

8. $displaystyle int a^x d x=fraca^xln a+C(0Bảng những nguyên hàm không ngừng mở rộng (a ≠ 0)

14. $displaystyle int(a x+b)^alpha d x=frac1a frac(a x+b)^alpha+1alpha+1+C(alpha eq-1)$

15. $displaystyle int frac1a x+b d x=frac1a ln |a x+b|+C$

16. $displaystyle int e^a x+b d x=frac1a e^a x+b+C$

17. $displaystyle int cos (a x+b) d x=frac1a sin (a x+b)+C$

18. $displaystyle int sin (a x+b) d x=-frac1a cos (a x+b)+C$

19. $displaystyle int frac1cos ^2(a x+b) d x=frac1a an (a x+b)+C$

20. $displaystyle int frac1sin ^2(a x+b) d x=-frac1a cot (a x+b)+C$

21. $displaystyle int mathbff(mathbfa x+mathbfb) mathbfd x=frac1mathbfa mathbfF(mathbfa x+mathbfb)+mathbfC$

$displaystyle int an xcdot dx=-ln |cos x|+C$

$displaystyle intcot xcdot dx=ln |sin x|+C$

$displaystyle int an (ax+b) extdx=-frac1aln |cos (ax+b)|+C$

$displaystyle intcot (ax+b) extdx=frac1aln |sin (ax+b)|+C$

Bảng những nguyên hàm nâng cao (a ≠ 0)

22. $displaystyle int fracmathrmd mathrmxa^2+x^2=frac1a operatornamearctg fracxa+c$

23. $displaystyle int fracmathrmd mathrmxa^2-x^2=frac12 a ln left|fraca+xa-x ight|+c$

24. $displaystyle int fracmathrmdxsqrtx^2+a^2=ln (x+sqrtx^2+a^2)+c$

25. $displaystyle int fracmathrmd mathrmxsqrta^2-x^2=arcsin fracxa+c$

26. $displaystyle int fracmathrmdxx sqrtx^2-a^2=frac1a arccos left|fracxa ight|+c$

27. $displaystyle int fracmathrmdxx sqrtx^2+a^2=-frac1a ln left|fraca+sqrtx^2+a^2x ight|+c$

28. $displaystyle int ln (a x+b) mathrmd mathrmx=left(x+fracba ight) ln (a x+b)-x+c$

29. $displaystyle int sqrta^2-x^2 mathrmd mathrmx=fracx sqrta^2-x^22+fraca^22 arcsin fracxa+c$

30. $displaystyle int fracmathrmdxsin (a x+b)=frac1a ln left| an fraca x+b2 ight|+c$

31.

Xem thêm: Đề Cương Văn Lớp 10 Học Kì 2 Môn Ngữ Văn Lớp 10, Đề Cương Ôn Tập Ngữ Văn 10

$displaystyle int e^a x cos b x mathrmd mathrmx=frace^a x(a cos b x+b sin b x)a^2+b^2+c$

32. $displaystyle int e^a x sin b x mathrmd mathrmx=frace^a x(a sin b x-b cos b x)a^2+b^2+c$