Chứng minh mặt đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định là như nào cùng làm vậy nào để tìm được điểm cố định đó lúc biết trước một biểu thức vectơ? bài giảng từ bây giờ thầy sẽ lý giải các phiên bản toán này.
Bạn đang xem: Chứng minh đường thẳng đi qua 1 điểm cố định hình học
Bạn sẽ xem: chứng tỏ đường trực tiếp đi qua 1 điểm cố định hình học
Phương pháp chứng minh đường thẳng trải qua điểm cụ định
a. cho trước 2 điểm A và B với hai số thực m, n thỏa mãn: $m+n eq 0$. Nếu có $vecMN=m.vecMA+n.vecMB$ thì mặt đường thẳng MN sẽ cắt đường thẳng AB trên điểm I thỏa mãn: $m.vecIA+n.vecIB=vec0$
Đặc biệt: khi $m=n eq 0$ thì I là trung điểm của AB
b. Cho trước 3 điểm A, B, C và cha số thực m, n, phường thỏa mãn: $m+n+p eq 0$. Nếu có $vecMN=m.vecMA+n.vecMB+p.vecMC$ thì đường thẳng MN sẽ giảm đường thẳng AB trên điểm I thỏa mãn: $m.vecIA+n.vecIB+p.vecIC=vec0$
Đặc biệt: khi $m=n=p eq 0$ thì I là trung tâm tam giác ABC.
Các chúng ta cũng có thể mở rộng ra các điểm cùng nhiều bộ số thực nhé.
Trong phương pháp trên đã cho thấy cho họ cách xác minh một điểm thắt chặt và cố định I. Tức là bọn họ đi kiếm tìm một điểm cố định và thắt chặt I thỏa mãn tính chất $m.vecIA+n.vecIB=vec0$ hoặc $m.vecIA+n.vecIB+p.vecIC=vec0$ tùy thuộc vào từng vấn đề cho. Khi đã tìm kiếm được điểm I này thì bài xích toán sẽ tiến hành giải quyết.
Để làm được dạng toán này thì chúng ta luôn phải để ý tới phần nhiều điểm cố định mà việc cho. Vị từ mọi điểm cố định này bạn cũng có thể tìm được đông đảo điểm cố định khác. Tự đó bọn họ sẽ biến đổi biểu thức vectơ liên quan tới đường thẳng theo những vectơ gồm chứa điểm cố định.
Giả sử cho trước 2 điểm thắt chặt và cố định A cùng B. Để chứng tỏ đường thẳng MN luôn đi sang 1 điểm cố định và thắt chặt nào đó khi M biến đổi thì các bạn cần biến đổi vectơ $vecMN$ theo một vectơ có chứa điểm thắt chặt và cố định là A hoặc B hoặc trung điểm I của AB.
Ví dụ:
Nếu $vecMN=2vecMI$ thì 3 điểm M, N, I thẳng hàng giỏi 3 điểm M, N, I thuộc nằm trên 1 đường thẳng, suy ra ngoài đường thẳng MN đi qua điểm cố định và thắt chặt là trung điểm I của AB.
Nếu $vecMN=frac12vecMA$ thì 3 điểm M, N, A trực tiếp hàng xuất xắc 3 điểm M, N, A cùng nằm trên 1 đường thẳng, suy đi ra ngoài đường thẳng MN trải qua điểm cố định là A.
Để biến hóa được những biểu thức vectơ như trên thì chúng ta cần cố chắc những khái niệm tương quan tới vectơ như: Quy tắc cộng vectơ, trừ vectơ, hai vectơ bằng nhau, nhì vectơ cùng phương… nếu khách hàng nào chưa rõ thì có thể bài viết liên quan một số bài giảng này nhé:
Tham khảo bài bác giảng:
Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M trong khía cạnh phẳng thỏa mãn:
$vecMN=vecMA+vecMB+vecMC$
a. Chứng tỏ đường trực tiếp MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC khi M gắng đổi.
b. Gọi p là trung điểm của CN. Chứng tỏ rằng mặt đường thẳng MP luôn luôn đi qua 1 điểm cố định và thắt chặt khi M rứa đổi.
Hướng dẫn:
a. Theo như cách thức ở trên, để minh chứng MN đi qua giữa trung tâm G của tam giác ABC thì ta cần thay đổi $vecMN=k.vecMG$ với k là 1 trong hằng số không giống 0.
Vì G là giữa trung tâm tam giác ABC đề xuất ta có: $vecGA+vecGB+vecGC=vec0$
Theo trả thiết:
$vecMN=vecMA+vecMB+vecMC=(vecMG+vecGA)+(vecMG+vecGB)+(vecMG+vecGC)$
$=3vecMG+(vecGA+vecGB+vecGC)=3vecMG+vec0$
Vậy $vecMN=3vecMG$
b. Cách 1:
Vì p. Là trung điểm của CN nên ta có:
$vecMP=frac12(vecMN+vecMC)$
Mà $vecMN=vecMA+vecMB+vecMC$ buộc phải suy ra
$vecMP=frac12(vecMA+vecMB+vecMC+vecMC)=frac12(vecMA+vecMB+2vecMC)$ (1)
Tới đây các bạn thấy nó như là biểu thức như bên trên phần phương thức chưa? $vecMN=m.vecMA+n.vecMB+p.vecMC$
Giờ chúng ta cần buộc phải tìm 1 điểm I cố định thỏa mãn: $vecIA+vecIB+2vecIC=vec0$
Gọi I là điểm thỏa mãn:
$vecIA+vecIB+2vecIC=vec0$
$Leftrightarrow vecIA+(vecIA+vecAB)+2(vecIA+vecAC)=vec0$
$Leftrightarrow 4vecIA+vecAB+2vecAC=vec0$
$Leftrightarrow vecAI=frac14vecAB+frac12vecAC$
Suy ra tồn tại nhất điểm I cầm định
Từ (1) ta có:
$vecMP=frac12(vecMA+vecMB+2vecMC)$
$=frac12(vecMI+vecIA+vecMI+vecIB+2vecMI+2vecIC)$
$=frac12(4vecMI+vecIA+vecIB+2vecIC)$
$=frac12(4vecMI+vec0)$ (do đặc điểm điểm I kiếm được ở trên)
$=2vecMI+vec0 =2vecMI$
Vậy $vecMP=2vecMI$
Ta có kết luận: đường trực tiếp MP luôn đi qua điểm thắt chặt và cố định là I khi M cố đổi.
Chú ý:
Thầy sẽ hướng dẫn chúng ta xác xác định trí điểm I dựa vào đẳng thức tìm kiếm được ở trên $vecAI=frac14vecAB+frac12vecAC$
Lấy điểm E bên trên đoạn AB thế nào cho $vecAE=frac14vecAB$ với điểm F bên trên cạnh AC sao để cho $vecAF=frac12vecAC$.
Dựng hình bình hành AEIF khi đó $vecAI=vecAE+vecAF$. Đó chính là điểm I bắt buộc tìm.
Cách 2: Ở phía trên ta cũng đổi khác vectơ $vecMP$ theo vectơ nào đó chứa điểm rứa định. Điểm cố định ở đây rất có thể là A, B, C, phường hoặc một điểm nào kia sẽ lộ diện trong thừa trình biến hóa do ta sản xuất ra.
Vì p. Là trung điểm của CN buộc phải ta có:
$vecMP=frac12(vecMN+vecMC)$
Mà $vecMN=vecMA+vecMB+vecMC$ nên suy ra
$vecMP=frac12(vecMA+vecMB+vecMC+vecMC)=frac12(vecMA+vecMB+2vecMC)$
Mặt không giống $vecMA+vecMB=2vecMJ$ với J là trung điểm của AB. Cho nên ta lại có:
$vecMP=frac12(2vecMJ+2vecMC)=vecMJ+vecMC=2vecMK$ cùng với K là trung điểm của CJ.
(Chú ý: tại đây A cùng B là 2 điểm thắt chặt và cố định nên trung điểm J của AB cũng thế định. Vị J với C cố định và thắt chặt nên trung điểm K của CJ cũng biến thành cố định.)
Vậy $vecMP=2vecMK$
Ta bao gồm kết luận: con đường thẳng MP luôn luôn đi qua điểm cố định là K khi M rứa đổi.
Không phải việc nào họ cũng gồm thể biến hóa như cách thứ hai được, vị vậy mà phương pháp 1 vẫn chính là cách bao quát cho vấn đề dạng này.
Qua nhì cách các bạn thấy điểm cố định và thắt chặt là I (ở phương pháp 1) với K (ở biện pháp 2) tuy chúng tồn tại bên dưới hai biểu thức vectơ không giống nhau: Điểm I ở biện pháp 1 thỏa mãn: $vecAI=frac14vecAB+frac12vecAC$ và điểm K ở phương pháp 2 là trung điểm của CJ nhưng thực chất vẫn là một trong những điểm thôi nhé.
Bài tập rèn luyện:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, điểm M trong khía cạnh phẳng thỏa mãn:
$vecMN=vecMA+5vecMB-vecMC$
a. Minh chứng rằng MN luôn luôn đi sang một điểm cố định và thắt chặt khi M cầm đổi.
b. Gọi p. Là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn luôn đi qua 1 điểm cố định và thắt chặt khi M ráng đổi.
Bài tập 2: Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M trong khía cạnh phẳng thỏa mãn:
$vecMN=vecMA+2vecMB-3vecMC+4vecMD$
a. Minh chứng rằng MN luôn luôn đi sang một điểm cố định và thắt chặt khi M vậy đổi.
Xem thêm: Chủ Đề Và Dàn Bài Của Bài Văn Tự Sự 6, Soạn Bài Chủ Đề Và Dàn Bài Của Bài Văn Tự Sự
b. Gọi p là trọng tâm tam giác ABN. Minh chứng rằng MP luôn đi qua 1 điểm cố định và thắt chặt khi M cố đổi.