Cho hai đường thẳng (a) với (b) trong ko gian. Có các trường hợp tiếp sau đây xảy ra đối với (a) với (b):

Trường vừa lòng 1: tất cả một khía cạnh phẳng đựng cả (a) với (b,) lúc đó theo hiệu quả tronh hình học tập phẳng ta bao gồm ba khả năng sau:

(a) và (b) cắt nhau tại điểm (M), ta kí hiệu (a cap b = M.)(a) với (b) tuy vậy song với nhau, ta kí hiệu (a//b).(a) và (b) trùng nhau, ta kí hiệu (a equiv b).

Bạn đang xem: Ký hiệu cắt nhau trong toán học

Trường vừa lòng 2: Không xuất hiện phẳng nào cất cả (a) và (b), lúc ấy ta nói (a) cùng (b) là hai tuyến đường thẳng chéo nhau.


2. Các định lí cùng tính chất


Trong ko gian, sang 1 điểm cho trước không nằm trên đường thẳng (a) bao gồm một và chỉ một đường thẳng song song cùng với (a).Nếu ba mặt phẳng rành mạch đôi một cắt nhau theo bố giao đường thì ba giao con đường đó hoặc đồng qui hoặc đôi một tuy vậy song.Nếu hai mặt phẳng riêng biệt lần lượt chứa hai tuyến đường thẳng tuy nhiên song thì giao con đường của bọn chúng (nếu có) cũng song song với hai tuyến phố thẳng kia hoặc trùng với 1 trong những hai mặt đường thẳng đó.Nếu hai tuyến đường thẳng minh bạch cùng tuy nhiên song với mặt đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

*

3. Việc Tìm giao đường của hai mặt bằng quan hệ tuy vậy song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: ví như hai khía cạnh phẳng (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) tất cả điểm thông thường (M)và lần lượt chứa hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song (d) với (d") thì giao tuyến đường của (left( alpha ight)) với (left( eta ight)) là đường thẳng trải qua (M) song song với (d) cùng (d").

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) gồm đáy (ABCD) là hình thang với các cạnh lòng là (AB) với (CD). Call (I,J) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AD) cùng (BC) cùng (G) là trung tâm của tam giác (SAB).

a) tìm giao con đường của nhì mặt phẳng (left( SAB ight)) và (left( IJG ight)).

b) Tìm điều kiện của (AB) với (CD) nhằm thiết diện của (left( IJG ight)) và hình chóp là một hình bình hành.

Hướng dẫn:

*

a) Ta gồm (ABCD) là hình thang cùng (I,J) là trung điểm của (AD,BC) nên (IJ//AB).

Vậy (left{ eginarraylG in left( SAB ight) cap left( IJG ight)\AB subset left( SAB ight)\IJ subset left( IJG ight)\A//IJendarray ight.)

( Rightarrow left( SAB ight) cap left( IJG ight) = MN//IJ//AB) với

(M in SA,N in SB).

b) dễ thấy thiết diện là tứ giác (MNJI).

Do (G) là trọng tâm tam giác (SAB) và

(M//AB) nên (fracMNAB = fracSGSE = frac23)

((E) là trung điểm của (AB)).

( Rightarrow MN = frac23AB).

Lại gồm (IJ = frac12left( AB + CD ight)). Vị (MN//IJ) đề xuất (MNIJ) là hình thang, do đó (MNIJ) là hình bình hành lúc (MN = IJ)

( Leftrightarrow frac23AB = frac12left( AB + CD ight) Leftrightarrow AB = 3CD).

Vậy thiết diện là hình bình hành lúc (AB = 3CD).

4. Bài xích toán chứng tỏ hai mặt đường thẳng tuy vậy song

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt đường thẳng song song ta rất có thể làm theo một trong số cách sau:

Chứng minh chúng cùng ở trong một mặt phẳng rồi dùng các cách thức chứng minh hai tuyến phố thẳng song song trong phương diện phẳng.Chứng minh hai đường thẳng kia cùng tuy nhiên song vơi mặt đường thẳng vật dụng ba.Nếu nhị mặt phẳng riêng biệt lần lượt chứa hai tuyến phố thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng tuy vậy song với hai đường thẳng kia hoặc trùng với 1 trong hai mặt đường thẳng đó.Sử dụng định lí về giao con đường của bố mặt phẳng.Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD) tất cả đáy (ABCD) là 1 trong hình thang cùng với đáy lớn (AB). điện thoại tư vấn (M,N) thứu tự là trung điểm của (SA) và (SB).

a) chứng minh MN // CD.

b) gọi (P) là giao điểm của (SC) cùng (left( ADN ight)), (I) là giao điểm của (AN) với (DP). Minh chứng SI // CD.

Hướng dẫn:

*

a) Ta có (MN) là con đường trung bình của tam giác (SAB) nên (MN//AB).

Lại tất cả (ABCD) là hình thang ( Rightarrow AB//CD).

Vậy (left{ eginarraylMN//AB\CD//ABendarray ight. Rightarrow MN//CD).

b) trong (left( ABCD ight)) call (E = AD cap BC), trong (left( SCD ight)) call (P = SC cap EN).

Ta gồm (E in AD subset left( ADN ight)) ( Rightarrow EN subset left( AND ight) Rightarrow p in left( ADN ight)).

Vậy (P = SC cap left( ADN ight)).

Do (I = AN cap DP Rightarrow left{ eginarraylI in AN\I in DPendarray ight. )

(Rightarrow left{ eginarraylI in left( SAB ight)\I in left( SCD ight)endarray ight. Rightarrow ham = left( SAB ight) cap left( SCD ight)).

Ta có (left{ eginarraylAB subset left( SAB ight)\CD subset left( SCD ight)\AB//CD\left( SAB ight) cap left( SCD ight) = SIendarray ight. Rightarrow SI//CD).

5. Bài toán minh chứng bốn điểm đồng phẳng và tía đường trực tiếp đồng qui

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm (A,B,C,D) đồng phẳng ta tìm hai tuyến phố thẳng (a,b) lần lượt trải qua hai trong tư điểm trên và chứng tỏ (a,b) song song hoặc cắt nhau, lúc ấy (A,B,C,D) nằm trong (mpleft( a,b ight)).

Để chứng tỏ ba mặt đường thẳng (a,b,c)đồng qui bên cạnh cách minh chứng ở §1, ta có thể chứng tỏ (a,b,c) theo lần lượt là giao tuyến của nhì trong ba mặt phẳng (left( alpha ight),left( eta ight),left( delta ight)) trong các số đó có nhị giao tuyến cắt nhau. Khi ấy theo đặc thù về giao đường của tía mặt phẳng ta được (a,b,c) đồng qui.

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) gồm đáy (ABCD) là một tứ giác lồi. Hotline (M,N,E,F) thứu tự là trung điểm của các kề bên (SA,SB,SC) với (SD).

a) chứng minh (ME,NF,SO) đồng quy.

b) chứng tỏ (M, N, E, F) đồng phẳng.

Hướng dẫn:

*

a) trong (left( SAC ight)) call (I = ME cap SO), dễ thấy (I) là trung điểm của (SO), suy ra (FI) là đường trung bình của tam giác (SOD).

Vậy (FI//OD).

Tương từ ta tất cả (NI//OB) yêu cầu (N,I,F) thẳng hàng tốt (I in NF).

Vậy (ME,NF,SO) đồng qui.

b) bởi vì (ME cap NF = I) yêu cầu (ME) và (NF) xác minh một mặt phẳng.

Suy ra (M,N,E,F) đồng phẳng.

6. Bài xích tập Ôn tập

Bài 1:

Cho hình chóp (S.ABC). Call (G_1,G_2) thứu tự là trọng tâm những tam giác (SBC) và (SAB).

a) chứng minh (G_1G_2//AC).

b) search giao con đường của nhị mặt phẳng (left( BG_1G_2 ight)) cùng (left( ABC ight)).

Hướng dẫn:

*

a) hotline (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (AB,BC).

Do (G_1,G_2) là trọng tâm những tam giác (SBC) với (SAB) cần (fracSG_1SN = frac23,fracSG_2SM = frac23)( Rightarrow fracSG_1SN = fracSG_2SM)

( Rightarrow G_1G_2//MN).

Mặt không giống (MN//AC Rightarrow G_1G_2//AC).

b) Ta bao gồm (left{ eginarraylB in left( BG_1G_2 ight)\G_1G_2 subset left( BG_1G_2 ight)\AC subset left( ABCD ight)\G_1G_2//ACendarray ight.)

( Rightarrow left( BG_1G_2 ight) cap left( ABCD ight) = d//AC//G_1G_2.)

Bài 2:

Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Hotline (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (CD) cùng (AB).

a) Hãy xác định các điểm (I in AC) cùng (J in DN) thế nào cho (IJ//BM).

b) Tính (IJ) theo (a).

Hướng dẫn:

*

a) trong (left( BCD ight)), tự (D) kẻ con đường thẳng tuy vậy song với (BM) giảm (BC) tại (K). Nối (K) với (N) cắt (AC) trên (I). Trong (left( IKD ight)), từ bỏ (I) kẻ mặt đường thẳng tuy vậy song cùng với (DK) giảm (DN) trên (J).

Khi kia (IJ//BM).

b) bởi (BM) là con đường trung bình của tam giác (CKD) buộc phải (KD = 2BM = 2.fracasqrt 3 2 = asqrt 3 ).

Gọi (H) là trung điểm của (BC). Lúc đó

(HN//AC Rightarrow fracNKNI = fracKHHC = frac3HCHC = 3)

( Rightarrow NK = 3NI Rightarrow KD = 3IJ)

( Rightarrow IJ = frac13KD = fracasqrt 3 3).

Bài 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang.Một khía cạnh phẳng (left( alpha ight)) cắt những cạnh (SA,SB,SC) với (SD) lần lượt tại những điểm (M,N,P,Q).

a) mang sử (MN cap PQ = I), (AB cap CD = E). Chứng tỏ (I,E,S) trực tiếp hàng.

b) mang sử (Delta = left( IBC ight) cap left( IAD ight)) và (Delta subset left( alpha ight)).

Chứng minh (MQ//NP//AB//CD).

Xem thêm: Top 19 Bố Cục Viếng Lăng Bác Hay Nhất 2022, Viếng Lăng Bác

Hướng dẫn:

*

a) Ta gồm (SE = left( SAB ight) cap left( SCD ight))

(I = MN cap PQ Rightarrow left{ eginarraylI in MN subset left( SAB ight)\I in PQ subset left( SCD ight)endarray ight.)

( Rightarrow I in left( SAB ight) cap left( SCD ight)), hay (I in SE).

b) vị (left{ eginarraylI in left( IAD ight) cap left( IBC ight)\AD//BC\AD subset left( IAD ight)\BC subset left( IBC ight)endarray ight.)

( Rightarrow left( IAD ight) cap left( IBC ight) = Delta //AB//DC,I in Delta )Mặt khác theo đưa thiết (Delta subset left( alpha ight)) nên

(left{ eginarraylDelta subset left( alpha ight)\BC subset left( SBC ight)\Delta //BC\left( alpha ight) cap left( SBC ight) = NPendarray ight. Rightarrow NP//BC//Delta )