Nội dung bài ôn tập chươngDãy số, cấp cho số cộng và cấp cho số nhânsẽ giúp các em hệ thống hóa lại tổng thể kiến thức đã có được học ởChương 3 Đại số với Giải tích 11. Ngoài ra các em rất có thể đánh giá mức độ phát âm bài của mình thông qua bài bác kiểm tra Trắc nghiệm cùng với những thắc mắc có nút độ khó khăn từ cơ bạn dạng đến nâng cao.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 3 đại số 11


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1. Tổng thể nội dung chương III

1.2. Những dạng bài tập chương III

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 5 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềÔn tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

3.2. Bài xích tập SGK & nâng cấp vềÔn tập hàng số, cấp số cộng và cung cấp số nhân

4.Hỏi đáp vềbài 5 chương 3 giải tích 11


*


*


Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với tất cả số tự nhiên và thoải mái (n ge 1), ta luôn có:

a) (1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2 + n^2 = fracn(n + 1)(2n + 1)6)

b) (frac13 + frac23^2 + ... + fracn3^n = frac34 - frac2n + 34.3^n)

Hướng dẫn giải:

a) cách 1: cùng với (n = 1) ta có:

(VT = 1^2 = 1, m VP = frac1(1 + 1)(2.1 + 1)6 = 1 Rightarrow VT = VP)

( Rightarrow ) đẳng thức mang đến đúng với (n = 1).

Bước 2: giả sử đẳng thức cho đúng cùng với (n = k ge 1), tức là:

(1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2 + k^2 = frack(k + 1)(2k + 1)6) (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với (n = k + 1), có nghĩa là cần chứng minh:

(1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2 + k^2 + (k + 1)^2 = frac(k + 1)(k + 1)(2k + 3)6) (2).

Thật vây:

(VT(2) = left< 1^2 + 2^2 + ... + k^2 ight> + (k + 1)^2)(mathop = limits^ mdo (1) frack(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)^2)

( = (k + 1)left< frac2k^2 + k6 + k + 1 ight> = frac(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)6)

( = frac(k + 1)(k + 2)(2k + 3)6 = VP(2))

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow )đẳng thức mang đến đúng với đa số (n ge 1).

b) * với (n = 1) ta tất cả (VT = 1 = VP Rightarrow ) đẳng thức cho đúng cùng với (n = 1)

* trả sử đẳng thức mang lại đúng cùng với (n = k ge 1), tức là:(frac13 + frac23^2 + ... + frack3^k = frac34 - frac2k + 34.3^k) (1)

Ta sẽ chứng tỏ đẳng thức mang lại đúng cùng với (n = k + 1), có nghĩa là cần bệnh minh

(frac13 + frac23^2 + ... + frack3^k + frack + 13^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k + 1) (2).

Thật vậy:(VT(2) = frac34 - frac2k + 34.3^k + frack + 13^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k + 1 = VP(2))

( Rightarrow (2)) đúng ( Rightarrow ) đẳng thức mang lại đúng.

Ví dụ 2:

Cho dãy số ((u_n):left{ eginarraylu_1 = 1,u_2 = 2\u_n + 1 = sqrt u_n + sqrt u_n - 1 m forall n ge 2endarray ight.). Chứng minh rằng hàng ((u_n)) là hàng tăng cùng bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh dãy ((u_n)) là dãy tăng bằng cách thức quy nạp

* dễ thấy: (u_1 sqrt u_k - 1 + sqrt u_k - 2 = u_k)

Vậy ((u_n)) là dãy tăng.

Cũng bởi quy nạp ta minh chứng được (u_n 0)

Nên dãy ((u_n)) là dãy bị chặn.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng :

a) ví như phương trình (x^3 - ax^2 + bx - c = 0) có tía nghiệm lập thành CSC thì (9ab = 2a^3 + 27c)

b) ví như phương trình (x^3 - ax^2 + bx - c = 0) có cha nghiệm lập thành CSN thì (c(ca^3 - b^3) = 0)

Hướng dẫn:

a) giả sử phương trình có bố nghiệm (x_1,x_2,x_3) lập thành CSC

Suy ra: (x_1 + x_3 = 2x_2) (1)

Mặt khác: (x^3 - ax^2 + bx - c = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3))

( = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)x - x_1x_2x_3)

Suy ra (x_1 + x_2 + x_3 = a) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra (3x_2 = a) tốt (x_2 = fraca3)

Dẫn cho tới phương trình đang cho gồm nghiệm (x_2 = fraca3), tức là:

(left( fraca3 ight)^3 - aleft( fraca3 ight)^2 + bleft( fraca3 ight) - c = 0 Leftrightarrow - frac2a^327 + fracba3 - c = 0 Leftrightarrow 9ab = 2a^3 + 27c)

Ta tất cả đpcm.

b) đưa sử tía nghiệm (x_1,x_2,x_3) lập thành CSN, suy ra (x_1x_3 = x_2^2)

Theo phân tích bài trên, ta có: (x_1x_2x_3 = c Rightarrow x_2^3 = c Rightarrow x_2 = sqrt<3>c)

Hay phương trình đang cho tất cả nghiệm (x_2 = sqrt<3>c), tức là:

(left( sqrt<3>c ight)^3 - aleft( sqrt<3>c ight)^2 + bsqrt<3>c - c = 0 Leftrightarrow bsqrt<3>c = asqrt<3>c^2 Leftrightarrow c(ca^3 - b^3) = 0)

Bài toán được bệnh minh.

Ví dụ 4:

a) mang đến tam giác ABC. Chứng minh rằng ( an fracA2; an fracB2;)

( an fracC2) lập thành cấp số cộng ( Leftrightarrow cos A;cos B;cos C) lập thành cấp cho số cộng.

b) đến tam giác ABC.Chứng minh rằng (cot fracA2;cot fracB2;cot fracC2) lập thành cấp số cùng ( Leftrightarrow sin A;sin B;sin C) lập thành cấp cho số cộng.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có: ( an fracA2; an fracB2; an fracC2) lập thành cung cấp số cộng

( Leftrightarrow an fracA2 + an fracC2 = 2 an fracB2 Leftrightarrow fracsin (fracA2 + fracC2)cos fracA2cos fracC2 = 2fracsin fracB2cos fracB2)

( Leftrightarrow cos ^2fracB2 = sin fracB2left< cos left( fracA2 + fracC2 ight) + cos left( fracA2 - fracC2 ight) ight>)

( Leftrightarrow frac1 + cos B2 = frac1 - cos B2 + frac12left< cos A + cos C ight>)

( Leftrightarrow cos B = fraccos A + cos C2 Leftrightarrow cos A,cos B,cos C) lập thành CSC.

Xem thêm: Top 3 Đề Cương Vật Lý 6 Học Kì 2 Có Đáp Án, Đề Thi Học Kì 2 Lớp 6 Môn Vật Lý Năm 2020

b)Ta có: (cot fracA2 - cot fracB2 = cot fracB2 - cot fracC2)

( Leftrightarrow fraccos fracA2sin fracB2 - cos fracB2sin fracA2sin fracA2sin fracB2 = fraccos fracB2sin fracC2 - cos fracC2sin fracB2sin fracC2sin fracB2)

( Leftrightarrow sin fracB - A2cos fracB + A2 = sin fracC - B2.cos fracC + B2)

( Leftrightarrow sin B - sin A = sin C - sin B Leftrightarrow sin A + sin C = 2sin B).