Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn Sách Bài Tập

Thư viện Lớp 1 Lớp 1 Lớp 2 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 11 Lớp 12 Lớp 12 Lời bài hát Lời bài hát Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng

hsnovini.com giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnchi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 21 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn bằng400rồi viết các tỉ số lượng giác của góc400.

Bạn đang xem: Tỉ số lượng giác của góc nhọn sách bài tập

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

Vẽ tam giác ABC vuông tại B cóB^=900,A^=400

ĐặtAB=c,AC=b,BC=a.

Ta có:

sin⁡40∘=sin⁡A^=BCAC=ab

cos⁡400=cos⁡A^=ABAC=cb

tg400=tgA^=BCAB=ac

cotg40∘=cotgA^=ABBC=ca

Bài 22 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giácABCvuông tạiA. Chứng minh rằng:sin⁡B^sin⁡C^=ACAB.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

Tam giácABCcóA^=90∘.

Ta có:sin⁡B^=ACBC;sin⁡C^=ABBC

Suy ra:sin⁡B^sin⁡C^=ACBCABBC=ACBC.BCAB=ACAB.

Bài 23 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giácABCvuông tạiA,B^=30∘,BC=8cm.Hãy tính cạnh AB(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằngcos⁡30∘≈0,866.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

Giả sử tam giácABCcóA^=90∘,B^=30∘,BC=8cm.

Ta có:cos⁡B^=ABBC

Suy ra:AB=BC.cos⁡B^=8.cos⁡30∘=8.0,866≈6,928(cm)

Bài 24 trang 106 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giácABCvuông tạiA,AB=6cm,B^=α.

Biếttgα=512.Hãy tính:

a) CạnhAC;

b) CạnhBC.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A:AB2+AC2=BC2.

Lời giải:

Giả sử tam giácABCcóA^=90∘,B^=α.

a) Ta có:tan⁡α=tan⁡B^=ACAB

Suy ra:AC=AB.tan⁡B^=AB.tan⁡α=6.512=2,5(cm)

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuôngABC, ta có:

BC2=AB2+AC2=62+(2,5)2=42,25

Suy ra:BC=42,25=6,5(cm).

Bài 25 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Tìm giá trịx(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng:

tg47∘≈1,072;cos⁡38∘≈0,788.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

a) Hình a

Ta có:tan⁡47∘=63x.Suy ra:x=63tan⁡47∘≈631,072≈58,769

b) Hình b

Ta có:cos⁡38∘=16x.Suy ra:x=16cos⁡38∘≈160,788≈20,305

Bài 26 trang 107 SBT Toán 9 tập 1:Cho tam giác ABCvuông tạiA, trong đóAB=6cm,AC=8cm. Tính cáctỉ số lượng giác của gócB, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của gócC.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A:AB2+AC2=BC2.

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia và tan góc này bằng cotan góc kia.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuôngABC, ta có:

BC2=AB2+AC2=62+82=100

Suy ra:BC=10(cm)

Ta có:

sin⁡B^=ACBC=810=0,8

cos⁡B^=ABBC=610=0,6

tan⁡B^=ACAB=86=43

cot⁡B^=ABAC=68=34

Vì tam giác ABC vuông tại A nênB^+C^=900

Suy ra:

sin⁡C^=cos⁡B^=0,6

cos⁡C^=sin⁡B^=0,8

tan⁡C^=cot⁡B^=34

cot⁡C^=tan⁡B^=43

Bài 27 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giácABCvuông tạiA. Kẻ đường caoAH. Tínhsin⁡B,sin⁡Ctrong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:

a) AB=13; BH=5.

b) BH=3; CH=4.

Phương pháp giải:

Cho tam giácABCvuông tạiA, đường caoAH. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+)AB2=BH.BChayc2=a.c′

+)AC2=CH.BChayb2=ab′

+)AB2+AC2=BC2hayc2+b2=a2(định lý Pytago)

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuôngABH, ta có:cos⁡B^=BHAB=513

Tam giácABCvuông tạiAnên:B^+C^=90∘

Suy ra:sin⁡C^=cosB^=513≈0,3864.

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

AB2=AH2+BH2⇒AH2=AB2−BH2=132−52=144

Suy ra:AH=12

Ta có:sin⁡B=AHAB=1213≈0,9231

b) Ta có:

BC=BH+HC=3+4=7

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

AB2=BH.BC⇒AB=BH.BC=3.7=21

AC2=CH.BC⇒AC=CH.BC=4.7=28=27

Suy ra:sin⁡B^=ACBC=277≈0,7559

sin⁡C^=ABBC=217≈0,6547

Bài 28 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45° ;

sin⁡75∘,cos⁡53∘,sin⁡47∘20′,tg62∘,cot⁡g82∘45′.

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.

Lời giải:

Vì75∘+15∘=90∘nênsin⁡75∘=cos⁡15∘

Vì53∘+37∘=90∘nêncos⁡53∘=sin⁡37∘

Vì47∘20′+42∘40′=90∘nênsin⁡47∘20′=cos⁡42∘40′

Vì62∘+28∘=90∘nêntg62∘=cot⁡28∘

Vì82∘45′+7∘15′=90∘nêncot⁡82∘45′=tg7∘15′

Bài 29 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Xét quan hệ giữa hai góc trong mỗi biểu thức rồi tính:

a) sin⁡32∘cos⁡58∘;

b) tg76∘−cot⁡g14∘.

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.

Lời giải:

a)

Ta có:32∘+58∘=90∘

Suy ra:sin⁡32∘=cos⁡58∘.Vậysin⁡32∘cos⁡58∘=cos⁡58∘cos⁡58∘=1.

b)

Ta có:76∘+14∘=90∘

Suy ra:tg76∘=cotg14∘.

Vậytg76∘−cotg14∘=cotg14∘−cotg14∘=0.

Bài 30 trang 107 SBT Toán 9 tập 1: Đường caoMQcủa tam giác vuông MNP chia cạnh huyềnNPthành hai đoạnNQ=3,PQ=6. Hãy so sánhcotgNvàcotgP. Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần?

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

Tam giácMNQvuông tạiQnên ta có:

cot⁡gN^=NQMQ=3MQ

Tam giácMPQvuông tạiQnên ta có:

cot⁡gP^=PQMQ=6MQ

Ta có:6MQ>3MQnêncot⁡gP^>cot⁡gN^

cot⁡gP^cot⁡gN^=6MQ3MQ=6MQ.MQ3=63=2

Vậycot⁡gP^=2cot⁡gN^.

Bài 31 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc60∘của một tam giác vuông bằng 3. Sử dụng bằng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

Giả sử tam giácABCcóA^=90∘,C^=60∘,AC=3.

Ta có:cos⁡C^=ACBC

⇒BC=ACcos⁡C^=ACcos⁡60∘=312=6

sin⁡60∘=sin⁡C^=ABBC

Suy ra:AB=BC.sin⁡60∘=6.32=33.

Bài 32 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Đường caoBDcủa tam giác nhọnABCbằng6, đoạn thẳngAD=5.

a) Tính diện tích tam giácABD;

b) TínhAC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:

sin⁡C=35,cos⁡C=45,tgC=34.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Công thức tính diện tích tam giácABCvuông tạiAvà có đường caoAHlàS=12AB.AC=12AH.BC.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABD vuông tại D nên ta có:

SΔABD=12.BD.AD=12.6.5=15(đvdt)

b) Xét tam giác BCD vuông, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:tan⁡C^=BDDC

Theo giả thiết:tan⁡C^=34

Suy ra:BDDC=34⇒DC=43BD=4.63=8

Suy ra:AC=AD+DC=5+8=13.

Bài 33 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Chocos⁡α=0,8. Hãy tìmsin⁡α,tgα,cot⁡gα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).
Phương pháp giải:

a sử dụng các kiến thức sau:

sin2α+cos2β=1

tgα=sin⁡αcos⁡α;cotgα=cos⁡αsin⁡α

tgα.cot⁡gα=1.

Lời giải:

Ta có:sin2α+cos2α=1

Suy ra:sin2α=1−cos2α=1−(0,8)2=1−0,64=0,36

Vìsin⁡α>0nênsin⁡α=0,36=0,6

Suy ra:tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=0,60,8=34=0,75

cot⁡α=1tan⁡α=10,75≈1,3333

Bài 34 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tìmsin⁡α,cos⁡α(làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết:

a) tgα=13

b) cot⁡gα=34.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Lời giải:

a)

Vìtgα=13nên có thể coiαlà góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 1 và 3.

Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là:12+32=10≈3,1623

Vậy:sin⁡α=13,1623≈0,3162;cos⁡α=33,1623≈0,9487

b)

Vìcotgα=34nên có thể coiαlà góc nhọn của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 và 4.

Suy ra cạnh huyền của tam giác vuông là:32+42=25=5

Vậy:sin⁡α=45=0,8;cos⁡α=35=0,6

Bài 35 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Dựng góc nhọn, biết rằng:

a) sinα=0,25;

b) cosα=0,75;

c) tgα=1;

d) cot⁡gα=2.

Phương pháp giải:

Dựng góc vuông xOy.

- Vận dụng định nghĩa của các tỉ số lượng giác để nhận ra gócα.

- Trên tiaOxdựng đường thẳngOA=m, trên tiaOydựng đường thẳngOB=n(dựng tùy theo tỉ số lượng giáccosα;sinαdựng đường tròn tâm A bán kínhn; với tỉ số lượng giáctgα;cot⁡gαdựng cạnhOB=n).

- Nối đoạn AB.

- Chứng minh cách dựng.

Lời giải:

a)

*Cách dựng: hình a

− Dựng góc vuôngxOy.

− Trên tiaOxdựng đoạnOAbằng1đơn vị dài.

− Dựng cung tròn tâmAbán kính4đơn vị dài và cắtOytạiB.

− Nối AB ta đượcOBA^=αcần dựng.

*Chứng minh:Ta có:sin⁡α=sin⁡OBA^=OAAB=14=0,25

b)

*Cách dựng:hình b:

− Dựng góc vuôngxOy.

− Trên tiaOxdựng đoạnOAbằng3đơn vị dài.

− Dựng cung tròn tâmAbán kính4đơn vị dài và cắtOytạiB.

− NốiABta đượcOAB^=αcần dựng.

*Chứng minh:Ta có:cos⁡OAB^=OAAB=34=0,75

c)

*Cách dựng: hình c

− Dựng góc vuôngxOy

− Trên tiaOxdựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài

− Trên tiaOydựng đoạn OB bằng 1 đơn vị dài

− Nối AB ta đượcOAB^=αcần dựng

*Chứng minh:Ta có:tgα=tgOAB^=OBOA=11=1

d)

*Cách dựng: hình d

− Dựng góc vuôngxOy

− Trên tiaOxdựng đoạn OA bằng2đơn vị dài

− Trên tiaOydựng đoạn OB bằng1đơn vị dài

− NốiABta đượcOAB^=αcần dựng

*Chứng minh:

Ta có:cot⁡gα=sin⁡OAB^=OAOB=21=2

Bài 36 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh của tam giácABCcó tọa độ như sau:A(1;1);B(5;1);C(7;9).

Hãy tính:

a) Giá trị củatgBAC^(làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư);

b) Độ dài của cạnhAC.

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACAB.

Định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A.

AB2+AC2=BC2

Lời giải:

a) Vì tam giácACHvuông tạiHnên ta có:

tgHAC^=CHAH=9−17−1=86≈1,3333

MàA,B,Hthẳng hàng nên suy ra:

tgBAC^=tgHAC^≈1,3333

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuôngACH, ta có:

AC2=CH2+AH2

Suy ra:AC=CH2+AH2=82+62=100=10

Bài 37 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy viết một phương trình để từ đó có thể tìm đượcx (không phải giải phương trình này).

Phương pháp giải:

Sử dụng:sin⁡α=ABBC

Lời giải:

Gọi tên như hình vẽ. Kẻ chiều caoAH

Xét tam giácACHta có:

sin⁡300=AHAC⇒AH=x.sin⁡30∘ (1)

Xét tam giácABHta có:

sin⁡800=AHAB⇒AH=4.sin⁡80∘ (2)

Từ (1) và (2) :x.sin⁡30∘=4.sin⁡80∘

Bài 38 trang 108 SBT Toán 9 tập 1: Hãy tínhsin⁡L(làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằngsin⁡30∘=0,5.

Phương pháp giải:

Sử dụng:sin⁡α=ABBC

Lời giải:

KẻMH⊥NL

Xét tam giác vuôngNMHta có:sin⁡30∘=MHMN⇒MH=sin⁡30∘.MN=sin⁡30∘.2,8=1,4

Xét tam giác vuôngLMHta có:sin⁡L=MHML=1,44,2=13≈0,3333.

Bài tập bổ sung (trang 109 SBT Toán 9)

Bài 2.1 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng trong các bài từ 2.1 đến 2.11.

(A)sin⁡α=ab;

(B)sin⁡α=bc;

(C)sin⁡α=b′b;

(D)sin⁡α=hb.

Phương pháp giải:

Sử dụng:sin⁡α=ABBC(hình vẽ)

Lời giải:

Đặt tên hình như hình dưới đây:

Xét tam giác vuôngAHC:

sin⁡α=AHAC=hb.

Vậy chọn đáp án (D).

Bài 2.2 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A)cosα=ab; (B)cosα=ac;

(C)cosα=bc; (D)cosα=bb′.

Lời giải:

Xét tam giác vuôngABC:

cos⁡α=ACBC=bc.

Vậy chọn đáp án (C).

Bài 2.3 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A)tgα=ba; (B)tgα=bc;

(C)tgα=bh; (D)tgα=hb′.

Lời giải:

Xét tam giác vuôngAHC:

tgα=AHHC=hb′.

Vậy chọn đáp án (D).

Bài 2.4 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:

(A)cot⁡gα=ba; (B)cot⁡gα=bc;

(C)cot⁡gα=ac; (D)cot⁡gα=hb.

Lời giải:

Xét tam giác vuôngABC:

cotgα=ACAB=ba.

Vậy chọn đáp án (A).

Bài 2.5 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A)sin⁡α=sin⁡β;

(B)sin⁡α=cos⁡β;

(C)sin⁡α=tgβ;

(D)sin⁡α=cotgβ.

Phương pháp giải:

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.

Lời giải:

Đặt tên hình như hình dưới đây (sử dụng cho các bài 2.5 đến 2.8):

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

α+β=90∘

Vậyα,βlà hai góc phụ nhau:

sin⁡α=cosβ.

Vậy đáp án đúng là (B).

Bài 2.6 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A)cos⁡α=cos⁡β;

(B)cos⁡α=tgβ;

(C)cos⁡α=cotgβ;

(D)cos⁡α=sin⁡β

Phương pháp giải:

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC ta có:

α+β=90∘

Vậyα,βlà hai góc phụ nhau:

cos⁡α=sinβ.

Vậy đáp án đúng là (D).

Bài 2.7 trang 109 SBT Toán 9 tập 1:Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A)tgα=tgβ;

(B)tgα=cotgβ;

(C)tgα=sin⁡β;

(D)tgα=cos⁡β.

Phương pháp giải:

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

α+β=90∘

Vậyα,βlà hai góc phụ nhau:

 tgα=cotgβ.

Vậy đáp án đúng là (B).

Bài 2.8 trang 109 SBT Toán 9 tập 1: Xét hình bs. 4. Tìm đẳng thức đúng

(A)cot⁡gα=tgβ;

(B)cot⁡gα=cotgβ;

(C)cot⁡gα=cos⁡β;

(D)cot⁡gα=sin⁡β.

Xem thêm: Chính Sách Cai Trị Của Các Triều Đại Phong Kiến Trung Quốc, Đối Với Nhân Dân Ta

Phương pháp giải:

Với hai gócα,βsao choα+β=90∘

Ta có:sin⁡α=cos⁡β;sin⁡β=cos⁡α;tan⁡α=cot⁡β;tan⁡β=cot⁡α.