Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một trong những chủ đề trọng tâm, thường xuất hiện vào các bài kiểm tra, bài thi chương trình lớp 10 . Tuy nhiên nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được phương pháp và cách làm dạng toán này.
Bạn đang xem: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng lớp 10
Tìm m để bất phương trình có nghiệm
1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm
Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)
f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈
Hướng dẫn giải
Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc
Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc
a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 2 + (m - 3)x + 4 > 0
Hướng dẫn giải
a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)
TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc
b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x 0 nghiệm đúng với mọi x
Vậy
3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ <0; 1>
Hướng dẫn giải:
Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ <0; 1>
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
Vậy với |m| 2x + 3
Bất phương trình tương đương với: m2x - mx 2 - m)x 2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành
Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.
Hướng dẫn giải
Đặt t = x2, t ≥ 0
Khi đó bất phương trình trở thành:
f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)
⇒Δ" = m2 - m
Trường hợp 1: Δ" ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1
Khi đó (*) luôn đúng.
Trường hợp 2: Nếu Δ" > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 2 ≤ 0
Tóm lại ta cần suy ra như sau:
Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.
4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ <1; 2> .
Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0
Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ <1; 2>.
Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x2 + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).
Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m - 1)x - m ≤ 0
đều là nghiệm của bất phương trình.
Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x2 + 2mx - 2 - m 2 + 2)x2 - 2mx + 1 - m > 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)
Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).
Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:
a. 5x2 - x + m > 0
b. mx2 - 10x - 5 2 - 2mx + 2 > 0
d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 0
Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x
a.  | b.  |
c.  |
Bài 14: Cho bất phương trình:
Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc
Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
Xem thêm: Bảo Tàng Lu Vrơ - Kim Tự Tháp Tại Bảo Tàng Louvre
a.
b.
c.
Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.
Bài 17: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt